Народився 3 січня 1917 року у селі Шишаки Гоголівського району Полтавської області. У 1932 році екстерном закінчив семирічну школу у Києві і пішов працювати на Київський консервний завод. У 1938 році закінчив 10-й клас середньої школи і у тому ж році вступив на механіко-математичний факультет Київського державного університету імені Т. Г. Шевченка.

Після демобілізації з 1946 року Ю.О. Митропольський жив у Києві, працював в Академії наук України. За цей час працював молодшим науковим працівником (1946-1948), старшим науковим працівником в Інституті будівельної механіки АН УРСР (1949-1951). З 1951 року працював в Інституті математики АН УРСР: старший науковий працівник (1951-1953), завідувач відділом (1953-1956), заступник директора по науковій частині (1956-1958), директор інституту (1958-1988), почесний директор інституту (з 1988 року).
Одночасно з роботою в Інституті математики він очолював у президії АН УРСР ряд відділень: фізико-математичних наук (1961-1963), математики, механіки і кібернетики (1963-1982), математики і механіки (1982-1986), математики (1986-1990). З 1991 року Ю.О. Митропольський – радник Президії Національної академії наук України.

Уся творча біографія Ю.О. Митропольського пов'язана в основному з розвитком теорії нелінійних коливань і диференціальних рівнянь. Результати цих досліджень узагальнені в 300 наукових публікаціях у вітчизняних і зарубіжних журналах, а також в 30 індивідуальних і колективних монографіях, серед яких виділяються: "Нестаціонарні процеси в нелінійних коливальних системах" (1955), "Асимптотичні методи в теорії нелінійних коливань" (1955), "Проблеми асимптотичної теорії нестаціонарних коливань" (1964), "Нелінійна механіка. Одночастотні коливання" (1997), "Метод усереднювання у нелінійній механіці" (1971) тощо. Наукові результати, отримані Ю.О. Митропольським, увійшли до ряду фундаментальних вітчизняних і зарубіжних монографій, у тому числі: "Вібрації у техніці" (1978), "Асимптотичні методи нелінійної механіки" (1969).