Анатолій Михайлович народився на Житомирщині, в селі Потіївка, що поблизу Радомишля. Після закінчення середньої школі в місті Малин вступив до Київського державного університету імені Т. Г. Шевченка на геологічний факультет. Тут серед інших дисциплін він слухав лекції з вищої математики, і невдовзі інтерес до цієї науки переріс у серйозне захоплення. Подальше навчання він продовжив вже на механіко-математичному факультеті і з відзнакою завершив його у 1960 році.

Математичні здібності А. М. Самойленка не залишились поза увагою директора Інституту математики АН УРСР академіка Ю. О. Митропольського, який у той час викладав у Київському університеті. На запрошення Ю. О. Митропольського Анатолій Михайлович вступив до аспірантури Інституту математики і влився до лав Київської школи нелінійної механіки, заснованої академіками М. М. Криловим і М. М. Боголюбовим. Навчання в аспірантурі завершилось у 1963 році успішним захистом кандидатської дисертації на тему ,,Застосування асимптотичних методів для дослідження нелінійних диференціальних рівнянь з нерегулярною правою частиною”, і перспективний молодий науковець став співробітником Інституту математики АН УРСР.

Своєю плідною науковою, педагогічною та науково-організаційною діяльністю Анатолій Михайлович завоював заслужений авторитет і повагу наукової громадськості. Його було обрано академіком Національної академії наук України (1995 р.), дійсним членом Європейської академії наук (2002 р.), членом-кореспондентом Accademia Peloritana dei Pericilanti (Мессіна, Сицилія, 2006 р.), іноземним членом АН Республіки Таджикистан (2011 р.), почесним академіком АН вищої школи України (2016 р.). З 2006 року і до сьогодні він обіймає відповідальну посаду академіка-секретаря Відділення математики НАН України.

Наукові результати вченого у галузі диференціальних рівнянь, математичної фізики, теорії нелінійних коливань здобули загальне визнання світової математичної спільноти. Так, запропонований ним ефективний метод відшукання періодичних розв’язків істотно нелінійних диференціальних рівнянь нині відомий у математичній літературі як ,,чисельно-аналітичний метод Самойленка”. Цей метод у подальшому отримав всебічний розвиток у численних роботах як самого автора, так і його учнів, зокрема він виявився ефективним інструментом побудови розв’язків нелінійних крайових задач для широких класів диференціальних, інтегродиференціальних, функціонально-диференціальних рівнянь, рівнянь з імпульсною дією.